Tryk her vejledning

Tryk på overskriften for at folde ud og for at folde ind igen.

   2. gradsfunktioner 2. gradsfunktioner....

Fra sektionen daglige opgaver

2. gradsfunktioner Noget om 2. gradsfunktioner, meget med henblik på brug af Geogebra

Vejledning til brug af rod + toppunkt funktioner i geogebra i opgaven. Giv eleven en mulighed for at lære noget om 2. gradsfunktion ved at bruge geogebra meget.


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2014-02-13 af Morten Graae

Tags:

funktioner   parabel   andengrad   praktisk   cooperative learning   CL   

   2. gradsfunktioner....

Fra sektionen kraacks formelsamling

Regneark omkring 2. gradsfunktioner.

Regnearket kan: Beregne støttepunkter Beregne diskriminant Beregne rødder / nulpunkter Beregne toppunkt Tegne funktioner finde skæringspunkter mellem flere funktioner Beregne areal under kurve


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2006-11-08 af Morten Graae

Tags:

  

   Cirkel....

wiki

 

Cirkel

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
 
 

En Cirkel er en geometrisk figur i et (todimensioneltplan. Matematisk omtales en cirkel som det geometriske sted for de (uendeligt mange) punkter som har en bestemt, konstant afstand r fra cirklens centrum. Afstanden r kaldes for cirklens radius, og den kurve som punkterne i denne afstand danner, er cirklens periferi. Der er 360 grader i en fuld cirkel.

Indholdsfortegnelse

  [skjul

[redigér]Linjer i og omkring en cirkel

Linjer og arealer i og omkring en cirkel

Visse rette linjer og linjestykker spiller en særlig rolle for cirklen, og har følgelig fået entydige navne.

  1. Cirkelbue: Et stykke af periferien (9), afgrænset af to punkter langs denne.
  2. Centervinkel: En vinkel med toppunkt i cirklens centrum (4), som afgrænser en bue (1) langs cirklens periferi (9).
  3. Centraltrekant: En ligebenet trekant, der dannes af en korde (8) mellem to punkter på periferien (9), samtradierne (10) i de to perifieripunkter.
  4. Centrum: Punktet der populært sagt "markerer midten" af cirklen: Ethvert punkt på periferien (9) har radius' afstand til dette punkt.
  5. Cirkelafsnit: Arealet mellem buen (1) og en korde (8) eller sekant (11) mellem to punkter langs periferien (9).
  6. Cirkeludsnit (eller sektor): Arealet mellem benene på en centervinkel (2) samt den bue (1) den afgrænser.
  7. Diameter: En ret linje der går igennem centrum (4) og to punkter på periferien (9). Ordet "diameter" bruges også om længden af dette linjestykke, som altid er dobbelt så lang som cirklens radius.
  8. Korde: et linjestykke mellem to punkter på periferien (9). En diameter (7) kan beskrives som en korde der går igennem centrum (4)
  9. Periferi: En kurve bestående af samtlige punkter der har radius' afstand til centrum (4). Længden af denne kurve, målt fra et punkt og én gang rundt om cirklen, kaldes for cirklens omkreds eller perimeter.
  10. Radius: Ret linje fra centrum (4) til et vilkårligt punkt på periferien (9). Er halvt så lang som samme cirkels diameter.
  11. Sekant: En linje der skærer cirklen i to punkter på periferien. Forskellen mellem en sekant og en korde (8) er at mens korden ender i de to periferipunkter, er en sekant "forlænget" ud over disse punkter.
  12. Tangent: En linje der netop rører cirklens periferi (9) i ét punkt, og danner en ret vinkel med radien i dette punkt. En tangent kan betragtes som det "grænsetilfælde" blandt sekanter (11) hvor de to periferipunkter er "løbet sammen" til ét punkt.

En lille alternativ forklaring på begreberne:

  • Diameteren er den linje som går midt igennem cirklen.
  • Radius er det halve af diameteren.
  • Tangenten er en linje som kun rører cirklen (udenpå) i ét punkt.
  • Korden er en (indvendig) linje som forbinder 2 punkter på periferien.

Der er tale om 2 slags vinkler ved cirklen:

  • Centervinkel: En vinkel der har sit toppunkt i centrum af cirkelen. altsa i midten.
  • Periferivinklen: En vinkel der har sit toppunkt på periferien, og hvis ben er korder. Altså startpunktet sidder på periferien og stregerne fungere som korder.

 


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2014-01-22 af Morten Graae

Tags:

  

   Eksempel på parabel....

wiki

Matematik på Beckhams scoring fra midterlinjen

 

Hvis vi ser bort fra vindmostanden - så har alle kast, spring og spark form som en parabel.

Opgave

  1. Se filmen
  2. Sparket kan udtrykkes f(x)=-0.011x2+0.65x (hvad betyder f(x))
    1. x er meter.
  3. Hvor højt kommer bolden op på det højeste sted.
  4. Vurder ud fra forskriften og sparket hvor langt der er fra midterlinien til målet.
    1. Målet er 2,44 meter højt

 

 

 

Løsning:

  • Find ud af hvad du ved på forhånd
    • Du ved at parabelen er negativ, dvs. benene vender nedaf
    • Du ved at toppunket ligger uden for y-aksen da b har en værdi.
      • Jeg ved også at toppunktet må ligge til højre for y-aksen da a er negativ og b er positiv.

Skriv ned hvad a, b og c er: (så skal du blot senere sætte ind i formlen)

a=-0,011 b=0,65 c=0

  1. Find topx
  2. Find topy
  3. Find skæringspunkter med y-aksen.

Topx=-frac {b}{2a} = -frac {0,65}{2cdot -0,011} = 29,545  Så sætter jeg 29,545 ind i formlen for at beregne y: -0,011*(29,545)2+0,65*29,545+0=9,602

Dvs. toppunktet er i (29,545;9,602) Nu ved jeg:

  • At bolden efter 29,545 meter fra sparkes start er 9,602 meter oppe i luften.
  • At bolden var i 0 meters højde da sparket blev startet fordi c=0
  • At bolden rammer jorden igen efter 2·29,545=59,091 meter
    • Det ved jeg fordi at toppunkten er jo også symmetriaksen. (jeg kan også eftervise det med beregning af Diskriminanten og nulpunkter)
    • Men der er jo egentlig ikke den store grund til det, da jeg allerede ved det.
    • Men jeg tegner den også for at vise den. (det kan jeg gøre i enten mathcad eller [http:://www.geogebra.org geogebra])
grafisk billede af Beckhams feberspark
grafisk billede af Beckhams feberspark

Beregning af skæringspunkt

Først Diskriminanten

  • b2-4ac
    • D=0,652-4·-0.011·0 (dvs. sidste led bliver jo nul da der gange med nul, derfor D=b2
  • D=0.652=0,423

Så beregner jeg de to skæringspunkter Men da c=0, så må der jo være et nul punkt i (0,0)

formel for skæringspunkter er: (0,frac {-b + sqrt{D}}{2a}) og (0,frac {-b - sqrt{d}}{2a})  Jeg sætter min værdier ind (0,frac {-0.65 + sqrt{0.423}}{2cdot-0.011}) og (0,frac {-0.65 - sqrt{0.423}}{2cdot-0.011})  Hvilket giver: (0,0) og (0;59,091), men det vidste vi jo i forvejen.

Målet er 2,44 meter højt, og vi kan se på videoen at bolden dykker ned lige under overliggeren. Så gætter jeg på at en bold nok er 30 cm. i diameter. Så boldens centrum kommer nok i mål 2,30 meter over mållinien. Jeg kan aflæse på min tegning at ca. 56 meter fra Beckham der er bolden ca. 2,3 meter over målinien.

Jeg kan dog også beregne det! f(x)=ax2+bx+c

Nu putter jeg det ind jeg kender

2,3=-0,011x2+0,65x+0, nu skal jeg huske at for at kunne løse en andengradsligning skal y/f(x) være lig nul. Jeg flytter rundt! 0=-0,011x2+0,65-2,3, så skal der findes diskriminant og nulpunkter som normalt igen. D=0,321

frac {-0.65 + sqrt{0.321}}{2cdot-0.011} og frac {-0.65 - sqrt{0.321}}{2cdot-+.011}  Som giver 3,78 og 55,311

Det fortæller os at bolden er i 2,3 meters højde ved en længde på 3,78 meter og 55,311 fra David Beckham. Bolden bliver afsendt fra midterlinien, så vi kan nu udlede at banen er ca. 110 meter lang.

Længden af en international fodboldbane skal være mellem 100 og 110 meter. (Så det passer nok meget godt)!

 

 


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2012-09-01 af Morten Graae

Tags:

parabel   2. grads   funktion   eksempel   

   Geogebra - kompendium Geogebra - kompendium....

geogebravejledninger

Geogebra - kompendium Kompendium om geogebra

Et introhæfte med opgaver, der skal løses ved hjælp af geogebra
Version 2, nu med beskrivelse af nogle af opgaverne

Version 3, nu med boksplot

 


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2014-02-13 af Kim Lorentzen, Morten Graae, Helle Fjord, Kristine Møller-Nielsen

Tags:

geogebra   dynamisk   kompendium   funktioner   polynomium   boxplot   ekstremum   toppunkt   rødder   rod   parabel   boksplot   

   Geogebra kommandoer....

wiki

Gode kommandoer at kunne i geogebra

 

  1. polynomium polynomium[{Punkt1,Punkt2,Punkt3}] Opretter en parabel der går gennem alle tre punkter.
  2. ekstremum ekstremum[f] det kan også være andre funktioner end f(x), fortæller toppunktet for parabelen (I dette tilfælde hedder funktionen f (f(x))
  3. rod Rod[f] finder rødder (der hvor funktionen skærer x-aksen og y=0) (I dette tilfælde hedder funktionen f)
  4. skæring skæring[f,g] finder skæringspunkt mellem 2 funktioner (I dette tilfælde hedder funktionerne f og g (f(x) og g(x)
  5. hældning hældning[f] eller anden funktionsnavn end f(x) - finder hældningstallet for funktionen eller linien.
  6. funktion[2x,2,4] - tegner en ny funktion med et nyt navn der har forskriften 2x, og har x der hedder x:=[2;4]
  7. ellipse ellipse[Brændpunkt1,Brændpunkt2,halv storakse] Opret en ellipse. Eksempel: Ellipse[A,B,3] som giver en ellipse med brændpunkter i A og B og en storakse på 6 (2*3)
  8. boksplot Udfra en liste
  9. boksplot2 Udfra mindsteværdi, nedre kvartil, medianen, øvrekavartil, størsteværdi
  10. fitvækst udfra 2 eller flere punkter kan den finde vækststigningen fitvækst[Kn,K0]

 

 


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2012-09-04 af Morten Graae

Tags:

geogebra   

   Geogebra opgaver om funktioner Geogebra opgaver om funktioner....

traening

Geogebra opgaver om funktioner Blandede funktionsopgaver i geogebra. Forholdvis svært


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2014-02-15 af Morten Graae

Tags:

geogebra   funktioner   hældningstal   toppunkt   rødder   

   Kast i geogebra Kast i geogebra....

Fra sektionen geogebraeksempler

Kast i geogebra Her kan man se noget om et kast i geogebra.

Se applet på http://www.geogebratube.org/student/m85435


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2014-02-12 af Morten Graae

Tags:

kast   anden grad   parabel   2. grad   rødder   toppunkt   

   Parabel....

wiki

Noget om parablen og 2. gradsfunktioner

 

a-værdi

  • Hvis a = 0, så er det ikke længere en parabel men blot en linær funktion y=bx+c
  • Hvis a er negativ er parablen også "negativ" - grenene vender nedad ligesom mundvigene i en negativ smiley.
  • Hvis a er positiv er parablen også "positiv" - grenene vender opad ligesom mundvigene i en glad smiley.
  • Jo tættere a er på nul jo fladere er "smilet"
  • Jo længere væk a er fra nul jo stejlere er parablen
  • Hvis b er forskellig fra nul, så har en ændring af a-værdien også betydning for toppunktets placering.

b-værdi

  • Hvis b=0 så ligger toppunktet på y-aksen i (0,c)
  • Hvis b=0 så er der ingen grund til at udregne diskriminanten, da det er hurtigere blot at løse den som en almindelig ligning
  • Hvis b er forskellig fra nul, så ligger toppunket ikke på y-aksen - men et sted væk fra y-aksen.
  • Hvis man ændre på b, så har det også en betydning for toppunktets placering

c-værdi

  • Parablen vil altid skære i (0,c) (Fordi ganger man a og b med 0 så bliver det nul, og så er der kun c-værdien tilbage
  • Ændrer man på c - så vil man forskyde toppunktet op og ned (ikke til siderne)

Toppunkt

  • Toppunktet er det højeste eller den laveste værdi i en parabel. (Hvis a er negativ er det den højeste værdi - er a positiv så der det den laveste værdi
  • I toppunktet er der en symetri-akse (spejlingsakse) (Dvs. har du fundet et punkt på den ene side af toppunktet, så behøver du ikke udregne et nyt punkt - men du kan blot spejle over.)
  • x-værdien til toppunktet udregnes med topx=frac {-b}{2a}
  • y-værdien findes nemmest ved blot at indsætte den udregnede x-værdi for topx ind i vores 2. gradsfunktion!
    • topy kan også udregnes med topy=frac {-D}{4a}
  • Toppunkt er altså (frac {-b}{2a},frac {-D}{4a})

Eksempler

Se eksempel på et spark
Se praktisk eksempel tilknyttet teori (eksempel ikke klar endnu)
Se eksempel der har tilknytning til overskud og fortjeneste (eksempel ikke klar endnu)

Toppunktets placering

  • Hvis b er forskellig fra nul, så ligger toppunktet væk fra y-aksen.
  • Hvis b=0, så ligger toppunktet i (0,c)
  • Hvis a er positiv og b er positiv, så ligger toppunket til venstre for y-aksen
  • Hvis a er negativ og b er negativ, så ligger toppunket til venstre for y-aksen
  • Hvis a er positiv og b er negativ, så ligger toppunket til højre for y-aksen
  • Hvis a er negativ og b er positiv, så ligger toppunket til højre for y-aksen

Man kan forudsige det samme, om toppunktet ligger over eller under x-aksen, men det kræver en beregning af D, så er det lige så nemt at udregne topy med det samme.

Diskriminanten

D=b2-4ac

  • Diskriminanten er et hjælpetal, som at gør, at bl.a. vi kan løse andengradsligninger

Husk:

  • Hvis b=0, så kan det ikke betale sig at udregne diskriminant
  • Hvis a eller c er lig 0, så er Diskriminanten jo kun b2
  • Når man beregner diskriminanten så skal y være lig nul
    • Hvis y har andre værdier end nul - så skal y-isoleres så y=0 (alm. ligningsregler efter Regnehiraki)

nulpunkter

Beregner hvor grafen skærer x-aksen. dvs. hvor y er lig nul.

  • Hvis D>0 så findes der 2-skæringspunkter
  • Hvis D=0, så findes er kun 1 skæringspunkt (som ligger på x-aksen)
  • Hvis d<0 så er der ingen skæringspunkter

Skæringspunkt 1=

 (0,frac{-b + sqrt{D}}{2a})

Skæringspunkt 2=

 (0,frac{-b - sqrt{D}}{2a})

Eksterne sider

Se opgaver og powerpoints på: matematikbanken


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2012-09-06 af Morten Graae

Tags:

parabel   2. grads   funktion   

   Parabel Find toppunt vha af en tangent Parabel Find toppunt vha af en tangent....

Fra sektionen geogebraeksempler

Parabel Find toppunt vha af en tangent Træk i punktet A - for at finde toppunktet

Leg med grafen for at finde toppunktet på en parabel Prøv at sætte 2 punkter som rødder og træk i det frie blåpunkt - se hvad der sker med forskriften


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2011-11-28 af Morten Graae

Tags:

toppunkt   parabel   tangent   

   Parabel leg med a - b - c Parabel leg med a - b - c....

Fra sektionen geogebraeksempler

Parabel leg med a - b - c En geogebrafil hvor man kan lege med a, b og c

I denne Geogebra eksemplen - kan man lære noget om a,b og c indflydelse på en parabel. Der er 3 skydere man kan indstille.

Se applet på http://www.geogebratube.org/student/m85529


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2014-02-12 af Morten Graae

Tags:

parabel   toppunkt   rødder   funktioner   

   Polynomium....

wiki

 

Polynomium

 
Lav en parabel der passer med toppunkt og rødder

Komandoen Polynomuim danner en parabel ud fra 3 punkter.

 

  1. Opret 3 punkter (Det kunne fx. hver de 2 rødder, og eller skæringspukt med y-aksen)
  2. skriv i inputlinien polynomium[{punkt1,punkt2,punkt3}]

Nu kan man i algebra vinduet se forskriften for funktioen

Links: se geogebrafil på matematikbanken
 

 


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2012-09-02 af Morten Graae

Tags:

geogebra   

   Repetition....

Fra sektionen daglige opgaver

 

Repetition i 10. klasse

Når man skal til mundtlig prøve i 10. klasse, er der mange forskellige ting, som man skal have styr på. Læs din lærers pensumopgivelse. Den giver dig en fornemmelse for, hvad du skal kunne.

[redigér]Se eksempel på pensumopgivelse

[redigér]Gode råd

Mundtlig prøve gode råd

 

[redigér]Specielt 10. klasses stof

Af specielt 10. klasses stof vil jeg sige at

  1. Statistik med sumkurverkvartilsætobservationsdiagramboksplot
  2. Vækst, både fremadrettet og med tilbage regning se formler her
  3. Parabel, man skal kunne tegne en parabel - finde toppunkt kunne gøre rede for a, b og c's betydning for parablens udseende og placering.
  4. 2 ligninger med 2 ubekendte (Grafisk ligningsløsning), finde/beregne skæringspunkt mellem 2 funktioner
  5. x2 begrebet

Hvis man vil have over 7 i sin mundtlige prøve, bør der indgå elementer af ovenstående.

[redigér]9. klasses stof

Udover det specielle 10. klassesstof

  1. FunktionerLiniær funktionhyperbel. Herunder begreber som ligefrem proportional og Omvendt proportionalitet
  2. Ligninger
  3. Geometri
    1. Phytagoras
    2. areal og rumfang af diverse former og figurer
    3. Enhedsomregning
    4. Målestoksforhold
    5. Massefylde
    6. Vinkelsum
    7. formler
  4. Hastighed
  5. Timer og minutter
  6. Procentregning
  7. Perspektiv tegning
    1. Forsvindingspunkter
  8. Kombinatorik og Sandsynlighed
Links
http://www.matematikbanken.dk/page/enkel/Repetition%20til%20et%2010-tal/146 
http://www.matematikbanken.dk/page/enkel/Repetition%20til%20et%207-tal/147
http://www.matematikbanken.dk/page/enkel/Repetition%20til%20et%204-tal/148


Se mere om opgaven

Sidst opdateret d. 2012-09-02 af Morten Graae

Tags: